こちらも転療先の老健も退所日・入所日の同日を請求するとしたら
二重請求になるのでしょうか？

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≪答え≫

平成１２年介護報酬Ｑ＆Ａ　Ｖｏｌ.１に　「同一の敷地内施設間、または、相互に職員の兼務や施設の共用が行われているものの間で、利用者が一の介護保険施設等から退所等をしたその日に他の介護保険施設等に入所等する場合については、入所等の日は含み、退所等の日は含まれない。」

とあるそうです。

同一の敷地内施設や職員の兼務や施設共用など
別施設とされない場合は退所日は含めない。

まったく別の施設の場合は退所も入所もそれぞれ算定してもいいということですね。